В 1929 году Борис Александрович окончил Московскую консерваторию. В 1946 году стал художественным руководителем, начальником и главным дирижёром Ансамбля песни и пляски Советской Армии, который в последствии получил звание дважды Краснознамённого. Он принял дирижёрскую палочку из рук отца, генерал-майора Александра Александрова, автора музыки к гимну СССР. Когда Александр Александров обсуждал гимн со Сталиным, глава советского государства сказал: не забывайте, что я учился в духовной семинарии и кое-что понимаю в музыке и пении. На что Александров-старший ответил: я пел регентом в Хрмае Христа Спасителя, поэтому тоже кое-что знаю о церковном пении. Как и отец, сын пел ещё в детстве в хоре Храма Христа Спасителя до его разрушения.
Ансамбль был создан в 1928 году, состоял из 200 человек, а его оружием стали музыкальные инструменты, тысячи песен и плясок, слава и почёт во всём мире. Начинался ансамбль с 12 человек, но уже в 1938 году, когда александровцы выступали у озера Хасан и исполняли там «Партизанскую дальневосточную», их численность достигла целой роты. Их песни знала вся страна, а они приезжали поддерживать Красную Армию, где бы ни находились её солдаты и офицеры. Во время Великой Отечественной войны хор, прежде всего, ездил на фронтовые позиции, часто близ линии фронта, посещал госпиталя, чтобы подбодрить раненных советских солдат. Во время поездок ноты и слова новых песен часто писались на обычных досках, чтобы певцы могли выучить и спеть военные музыкальные произведения бойцам Красной Армии.
«Если бы певцы хора Красной Армии были направлены в качестве авангарда, они легко могли бы завоевать любой город мира. Без оружия, только со сцены театра», - восторженно писала об ансамбле Александрова английская газета News Chronicle в конце 1940-х годов. А французская «France Nouvelle» отмечала: «программа ансамбля неслыханна, чудесна, великолепна. Но что всё это значит в сравнении с самим концертом, тем? как артисты исполняют эту программу».
Именно хору Александрова Запад обязан тем, что узнал знаменитую теперь на весь мир «Калинку», «День Победы» и ещё десятки русских и советских песен. «Калинка, вернись», - писали западные газеты после окончания очередных гастролей хора. Да что там газеты — премьер-министр Великобритании Черчилль, послушав хор во время Ялтинской конференции 1945 года, назвал его «поющим оружием» и добавил: «если у русских есть такое секретное оружие, союзникам, может, и не стоило открывать второй фронт». Люди невысоких военных регалий фактически создали лучший мужской хор в мире в ХХ веке, завоевавший высшие награды Советского Союза и многих стран мира.
Б.А. Александров является автором множества песен, посвященных Советской Армии, он создал сюиту «На страже мира», ораторию «Солдат Октября защищает мир», оперетты, среди которых «Свадьба в Малиновке», автор балетов, симфоний и кантат.